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A propos de la condition aux limites


Dans le tutoriel sur le modèle barotrope, que nous avons implémenté sur une aire limitée, on a discuté de la manière de définir les conditions aux bords du domaine et de coupler avec un modèle global. J’ai expliqué rapidement la technique consistant à créer une zone de transition avec un coefficient alpha décroissant qui permet de faire un rappel  progressif vers les valeurs que l’on souhaite imposer.

Au début, j’ai été peu regardant sur la largeur de la zone de transition. En partant sur une décroissance linéaire et une zone de transition de 4 points de grille, j’ai fin par m’apercevoir que c’était peu optimal. Rapidement, on remarque une discontinuité qui apparaît entre la zone de relaxation et le bord de la zone de simulation, qui créé des valeurs de vent et de tourbillon élevées. Sur des simulations assez courtes, cela ne pose pas de problème majeur, mais si l’on prolonge, cela peut compromettre la stabilité ou le réalisme du modèle. Voici le résultat au bout de 72 heures de simulation, on voit bien la ligne de vent fort en bordure de zone :

zone 4 lineaire

Zone de relaxation de 4, décroissance linéaire.

Il s’avère que ce problème de conditions aux limites a été étudié [1] : on apprend dans les articles scientifiques que de mauvaises conditions peuvent générer du bruit, en raison du rebond d’ondes sur les bords notamment. Il faut donc faire en sorte que la zone de relaxation se comporte comme un ressort qui amortit le flux qui rentre et sort du domaine (damping), tout en assurant la transition vers les valeurs imposées aux bords. La qualité du damping est impactée par la taille de la zone et par la manière dont le paramètre alpha décroit.

Une zone de 6 à 8 mailles est optimale, en dessous c’est pas assez, au-delà ça n’apporte rien. Une décroissance linéaire du paramètre alpha donne des résultats satisfaisants, mais une décroissance non linéaire est bien meilleure, en utilisant une fonction du type arc tangente. Quelle que soit la fonction utilisée, une zone de moins de 6 mailles produit l’effet de discontinuité illustré. Après modification, il suffit de constater la différence avec l’ancienne méthode, la discontinuité a disparu et la transition est plus douce :

Zone 8 atan

Zone de relaxation de 8, fonction de décroissance arc tangente.

[1] Kallberg, 1977. Test of a lateral boundary relaxation scheme in a barotropic model.